Question

已知函数f（x）=2alnx-x+

1

x

（a∈R，且a≠0）；g（x）=-x²-x+2

2

b（b∈R）
（Ⅰ）若f（x）是在定义域上有极值，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当a=

2

时，若对?x₁∈[1，e]，总?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）＜g（x₂），求实数b的取值范围．（其中e为自然对数的底数）
（Ⅲ）对?n∈N，且n≥2，证明：ln（n！）⁴＜（n-1）（n+2）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先根据对数函数求出定义域，再求导，得到x²-2ax+1=0有两不等正根，继而求出a的范围．
（Ⅱ）等价于f_max（x）＜g_max（x），分别利用导数求出最值即可．
（Ⅲ）先求导，得到故f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，得到对?n∈N，且n≥2，总有2lnm≤m-

1

m

＜m，化简整理得到结论．

解答： （Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），要f（x）在定义域内有极值，
则f′（x）=

2a

x

-1-

1

x2

=

-x2+2ax-1

x2

=0，
∴x²-2ax+1=0有两不等正根，
∴

a＞0 4a2-4＞0

解得a＞1，
故实数a的取值范围（1，+∞）
 （Ⅱ）a=

2

时，
∴f（x）=2

2

lnx-x+

1

x

，
∵对?x₁∈[1，e]，总?x₂∈[1，e]，使得f（x₁）＜g（x₂），
则只需f_max（x）＜g_max（x），
由f′（x）=

-x2+2 2 x-1

x2

＞0，
解得

2

-1＜x＜

2

+1，
得函数f（x）在（1，

2

+1）上递增，在（

2

+1，e）上递减，所以函数f（x）在x=

2

+1处有最大值；   
∴f_max（x）=f（

2

+1）=2

2

ln（

2

+1）-2；
又g（x）在（1，e），
故g_max（x）=g（1）=2

2

b-2
∴2

2

ln（

2

+1）-2＞2

2

b-2，
∴b＞ln（

2

+1）
（Ⅲ）当a=1时，f（x）=2lnx-x+

1

x

，
f′（x）=

-x2+2x-1

x2

≤0恒成立，
故f（x）在定义域（0，+∞）上单调递减，
故当x≥1时，f（x）=2lnx-x+

1

x

≤f（1）=0
即2lnx≤x-

1

x

，
所以对?n∈N，且n≥2，总有2lnm≤m-

1

m

＜m，
故有2（ln2+ln3+…+lnn）＜1+2+3+…+n，
∴2ln（n!）＜

(n+2)(n-1)

2

，
∴ln（n！）⁴＜（n-1）（n+2）
问题得以证明．

点评：本题主要考查导数函数的单调性最值的关系，本题属于中档题．