题目内容
如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC，AP=BP，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：AB⊥平面PCD：
（Ⅱ）若PC⊥AC，求证：平面PAC⊥平面ABC．
考点：直线与平面垂直的判定,平面与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（Ⅰ）由已知条件得CD⊥AB，PD⊥AB，由此能证明AB⊥平面PCD．
（Ⅱ）由AB⊥平面PCD，得PC⊥AB，又PC⊥AC，从而PC⊥平面ABC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC．
（Ⅱ）由AB⊥平面PCD，得PC⊥AB，又PC⊥AC，从而PC⊥平面ABC，由此能证明平面PAC⊥平面ABC．
解答：
（Ⅰ）证明：∵AC=BC，AP=BP，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，PD⊥AB，
∵CD∩PD=D，
∴AB⊥平面PCD．
（Ⅱ）证明：∵AB⊥平面PCD，PC?平面PCD，
∴PC⊥AB，
又PC⊥AC，AC∩AB=A，
∴PC⊥平面ABC，
∵PC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．
∴CD⊥AB，PD⊥AB，
∵CD∩PD=D，
∴AB⊥平面PCD．
（Ⅱ）证明：∵AB⊥平面PCD，PC?平面PCD，
∴PC⊥AB，
又PC⊥AC，AC∩AB=A，
∴PC⊥平面ABC，
∵PC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
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|
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| ||
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| ||
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