已知函数f（x）=x³-x²-x+a（x∈R），其中a为实数．
（Ⅰ）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值；
（Ⅲ）若函数f（x）有且仅有一个零点，求a的取值范围．

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

5

3

，F₁、F₂分别是椭圆C的左、右焦点，点P（

3

2

，m）是椭圆上一点，且

PF1

•

PF2

=

1

4

．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（2，0）的直线交椭圆C于A、B两点，O是坐标原点，设

OM

=

OA

+

OB

，且|

OM

|=|

AB

|，求直线l的方程．

求函数f（x）=ln（x²+1）-x²的最大值．

已知直线l：y=

3

（x-2）过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点，椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点E（-2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，且△OMN的面积S=

2

3

6

（O为坐标原点），求直线m的方程．

袋中有一元人民币两枚，现依次有放回地随机摸取3次，每次摸一枚硬币．
（1）试问，一共有多少种不同的结果，列出所有可能的结果（其中正面朝上与反面朝上是不同的结果）
（2）若摸到正面朝上时得2分，摸到反面朝上得1分，求3次摸得总分为5分的概率．

已知f（x）=2ax-

1

x

-（2+a）lnx（a≥0）
（1）当a=1时，求f（x）的极值；
（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；
（3）若对任意的a∈（2，4），x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m-ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

已知抛物线y²=4x的焦点F，过F作直线l交抛物线于A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）两点，其中点A在x轴上方．
（1）求y_Ay_B的值，当|AB|=8时，求直线l的方程；
（2）设P（-1，0），求证：直线PA，PB的斜率之和为0；
（3）设Q（2，0），AQ的延长线交抛物线于C，BC的中点为D，当直线DF在y轴上的截距的取值范围是（

2

3

，2），求y_A取值范围．

已知数列{a_n}的前n项和S_n，点（n，

Sn

n

）在直线y=

1

2

x上，数列{b_n}满足

b1-1

2

+

b2-1

22

+…+

bn-1

2n

=a_n（n∈N）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）是否存在常数P（P≠-1），使数列{

Tn-n+1

2(2n+P)

}为等比数列，若存在，求出P的值；若不存在，说明理由．

等差数列{a_n}中，a₁=1，d＞0，且它的第2项，第5项，第14项成等比，分别是等比数列{b_n}的第2项，第3项，第4项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}对任意n∈N^*均有

c1

b1

+

c2

b2

+…+

cn

bn

=a_n成立，求c₁+c₂+…+c_n（n≥2）．

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是棱CC₁的中点，Q是棱A₁D₁的中点，R是棱CD的中点，C₁Q与B₁D₁交于点E．
（Ⅰ）求证：C₁Q∥面APD₁；
（Ⅱ）求证：B₁R⊥面APD₁；
（Ⅲ）求三棱锥E-APD₁的体积．