Question

已知函数f（x）=x³-x²-x+a（x∈R），其中a为实数．
（Ⅰ）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值；
（Ⅲ）若函数f（x）有且仅有一个零点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数零点的判定定理,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=-1时，求导数，可得切线斜率，即可求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求导数，利用导数的正负，求函数f（x）的单调区间与极值；
（Ⅲ）极大值小于0或极大值大于0，即可求a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=x³-x²-x+1，∴f′（x）=3x²-2x-1，f（2）=1，
∴f′（2）=7，
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=7x-13；
（Ⅱ）由f′（x）＞0可得x＜-

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3

或x＞1，f′（x）＜0，可得-

1

3

＜x＜1，
∴函数的单调递增区间（-∞，-

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3

），（1，+∞），单调递减区间为（-

1

3

，1），
∴f（x）的极大值为f（-

1

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）=

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+a，极小值为f（1）=a-1；
（Ⅲ）f（x）=x³-x²-x+a=（x-1）²（x+1）+a-1．
由此可知x取足够大的正数时f（x）＞0，取足够小的负数时f（x）＜0，
∴y=f（x）与x轴至少有一个交点．
∵函数f（x）有且仅有一个零点，
∴

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+a＜0或a-1＞0，
∴a＜-

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或a＞1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，属于中档题．