Question

已知直线l：y=

3

（x-2）过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点，椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点E（-2，0）的直线m交椭圆C于点M、N，且△OMN的面积S=

2

3

6

（O为坐标原点），求直线m的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）直线l：y=

3

（x-2）过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点，可得该焦点为（2，0），可得c．经过原点且垂直于直线l的方程为y=-

3

3

x，两条直线方程联立，解得x=

3

2

，由于椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，可得

a2

c

=2×

3

2

，即可解得a，b．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．设直线m的方程为x=ty-2，联立与椭圆方程联立可得（3+t²）y²-4ty-2=0，y1+y2=

4t

3+t2

，y1y2=

-2

3+t2

．利用|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

24(t2+1)

t2+3

．S_△OMN=

1

2

|OE||y1-y2|，解出t即可．

解答： 解：（1）直线l：y=

3

（x-2）过椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦点，
∴该焦点为（2，0），∴c=2．
经过原点且垂直于直线l的方程为y=-

3

3

x，联立

y=- 3 3 x y= 3 (x-2)

，解得x=

3

2

，
∵椭圆C的中心关于直线l的对称点在椭圆C的右准线上，
∴

a2

c

=2×

3

2

，化为a²=3c．
∴a²=6，∴b²=2．
∴椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．设直线m的方程为x=ty-2，联立

x=ty-2 x2+3y2=6

，
化为（3+t²）y²-4ty-2=0，
则y1+y2=

4t

3+t2

，y1y2=

-2

3+t2

．
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

24(t2+1)

t2+3

．
∵S_△OMN=

1

2

|OE||y1-y2|，
∴

1

2

×2×

24(t2+1)

3+t2

=

2 6

3

，解得t=0或t=±

3

．
故所求的方程为x=-2，或x±

3

y+2=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、点关于直线的对称性、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长关系、三角形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．