题目内容
已知椭圆C：
+
=1（a＞0，b＞0）的离心率为
，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，点P（
，m）是椭圆上一点，且
•
=
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（2，0）的直线交椭圆C于A、B两点，O是坐标原点，设
=
+
，且|
|=|
|，求直线l的方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| PF1 |
| PF2 |
| 1 |
| 4 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（2，0）的直线交椭圆C于A、B两点，O是坐标原点，设
| OM |
| OA |
| OB |
| OM |
| AB |
考点：直线与圆锥曲线的关系,平面向量数量积的运算,椭圆的标准方程
专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（Ⅰ）设F1（-c，0）、F2（c，0），求出向量PF1，PF2，由数量积的坐标表示得到方程，再由离心率得到方程，和点P在椭圆上，得到方程，解出方程组，即可得到椭圆方程；
（Ⅱ）由设
=
+
，且|
|=|
|，得到
•
=0，讨论直线l的斜率不存在，不成立，再设直线l的方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2）联立椭圆方程，去掉y得到x的方程，运用韦达定理，再求y1y2，由向量垂直的坐标表示，得到方程，解出即可．
（Ⅱ）由设
| OM |
| OA |
| OB |
| OM |
| AB |
| OA |
| OB |
解答：
解：（Ⅰ）设F1（-c，0）、F2（c，0），则
=（-c-
，-m），
=（c-
，-m），
因为
•
=
，所以
-c2+m2=
，即m2=c2-2，…①
由椭圆的离心率为
，所以
=
…②
又点P（
，m）在椭圆上，所以
+
=1…③
由①②③解得a2=9，c2=5，m2=3，b2=4，
所以椭圆C的方程为
+
=1；
（Ⅱ）因为设
=
+
，所以四边形OAMB为平行四边形，
又因为且|
|=|
|，所以四边形OAMB为矩形，所以
•
=0，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2
由
得
，
此时
•
=
＞0与
•
=0矛盾，
故直线l的斜率存在且不为零．
设直线l的方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2）
由
得（9k2+4）x2-36k2x+36（k2-1）=0
所以x1+x2=
，x1x2=
…①
y1y2=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]=-
…②
由
•
=0，即x1x2+y1y2=0得k=±
，
故所求直线l的方程为y=±
（x-2）
即3x-2y-6=0或3x+2y-6=0．
| PF1 |
| 3 |
| 2 |
| PF2 |
| 3 |
| 2 |
因为
| PF1 |
| PF2 |
| 1 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
由椭圆的离心率为
| ||
| 3 |
| c |
| a |
| ||
| 3 |
又点P（
| 3 |
| 2 |
| 9 |
| 4a2 |
| m2 |
| b2 |
由①②③解得a2=9，c2=5，m2=3，b2=4，
所以椭圆C的方程为
| x2 |
| 9 |
| y2 |
| 4 |
（Ⅱ）因为设
| OM |
| OA |
| OB |
又因为且|
| OM |
| AB |
| OA |
| OB |
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2
由
|
|
此时
| OA |
| OB |
| 16 |
| 9 |
| OA |
| OB |
故直线l的斜率存在且不为零．
设直线l的方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2）
由
|
所以x1+x2=
| 36k2 |
| 9k2+4 |
| 36(k2-1) |
| 9k2+4 |
y1y2=k2[x1x2-2（x1+x2）+4]=-
| 20k2 |
| 9k2+4 |
由
| OA |
| OB |
| 3 |
| 2 |
故所求直线l的方程为y=±
| 3 |
| 2 |
即3x-2y-6=0或3x+2y-6=0．
点评：本题考查椭圆的方程和性质，直线和椭圆的位置关系，联立方程消去未知数，运用韦达定理，同时考查向量的垂直和数量积的坐标表示，向量的平行四边形法则，考查化简运算能力，属于中档题．
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