已知函数f（x）=ax+xlnx（a为常数，e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x-e．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若k∈Z，且k＜

f(x)

x-1

对任意x＞1都成立，求k的最大值．

某学校要从演讲初赛胜出的4名男生和2名女生中任选3人参加决赛．
（Ⅰ）设随机变量ξ表示所选的3个人中女生的人数，求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求所选出的3人中至少有一名女生的概率．

设函数f（x）=x²-x+alnx，其中a≠0．
（1）a=-6，求函数f（x）在[1，4]上的最值；
（2）设函数f（x）既有极大值，又有极小值，求实数a的取值范围；
（3）求证：当n∈N^*时，e n(n2-1)≥（n!）³．

根据要求，求x的取值范围：
（1）tan

x

2

≥

3

；
（2）cot2x≤-

3

；
（3）|sinx|≤|cosx|；
（4）log_xtanx＞0；
（5）log

3

sin

x

2

-log

3

cos

x

2

＞-1且-2π＜x＜2π．

已知向量

m

=（2cosx，

3

sin2x），

n

=（cosx，1），函数f（x）=

m

•

n

．
①求f（x）的解析式和函数图象的对称轴方程；
②在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，满足a+c≥2b，求f（B）的范围．

已知△ABC的顶点A（-1，4），AB边上的中垂线方程为x+7y-2=0，∠C的平分线所在的直线方程为x-2y+4=0．
（1）求顶点B，C坐标；
（2）过点C作直线l与圆x²+y²=4交于M，N两点，求MN的中点P的运动轨迹．

已知函数f（x）=ae^x，g（x）=

1

a

lnx，其中a＞0．若函数f（x）和 g（x）在它们图象与坐标轴交点处的切线互相平行．
（1）求这两平行切线间的距离；
（2）若对于任意x∈R，f（x）≥mx+1（其中m＞0）恒成立，求m的取值范围
（3）当x₀∈（0，+∞），把|f（x₀）-g（x₀）|的值称为函数f（x）和 g（x）在x₀处的纵差．求证：函数f（x）和g（x）所有纵差都大于2．

已知离心率分别为e₁、e₂的椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的两个公共顶点为A、B，若P、Q分别为双曲线C₂和椭圆C₁上不同于A、B的动点，且满足

AP

+

BP

=λ（

AQ

+

BQ

）（λ∈R，|λ|＞1）．如果直线AP、BP、AQ、BQ的斜率依次记为k₁、k₂、k₃、k₄．
（1）求证：e₁²+e₂²=2；
（2）求证：k₁+k₂+k₃+k₄=0；
（3）设F₁、F₂分别为椭圆C₁和双曲线C₂的右焦点，若PF₂∥QF₁，求k₁²+k₂²+k₃²+k₄²的值．

如图在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=2，CC₁=4，E是BB₁上的一点，且EB₁=1，D、F、G分别是CC₁、B₁C₁、A₁C₁的中点，EF与B₁D相交于H．
（Ⅰ）求证：B₁D⊥平面ABD；
（Ⅱ）求证：平面EFG∥平面ABD；
（Ⅲ）求平面EG与平面ABD的距离．

设函数f（x）=

x

m(x+2)

（m∈R），方程f（x）=x有唯一解，其中m为常数，又f（a₁）=

2

5

，f（a_n）=a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅲ）若b_n=

4

an

-7且C_n=

b2n+1+b2n

2bn+1bn

（n∈N⁺），求证：c₁+c₂+…+c_n＜n+1．