题目内容
已知函数f（x）=ax+xlnx（a为常数，e为自然对数的底数），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=3x-e．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若k∈Z，且k＜
对任意x＞1都成立，求k的最大值．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若k∈Z，且k＜
| f(x) |
| x-1 |
考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：综合题,导数的综合应用
分析：（1）由f′（e）=3得a，从而可得f′（x）=lnx+2，在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得函数的单调区间；
（2）k＜
对任意x＞1都成立，等价于k＜[
]min，利用导数可表示[
]min；
（2）k＜
| f(x) |
| x-1 |
| f(x) |
| x-1 |
| f(x) |
| x-1 |
解答：
解：（1）求导数可得f′（x）=a+lnx+1，
∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，
∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，
∴f（x）=x+xlnx，f′（x）=lnx+2，
由f′（x）＞0得x＞
，由f′（x）＜0得0＜x＜
．
∴f（x）的单调递减区间为（0，
），单调递增区间为（
，+∞）．
（2）当x＞1时，令g（x）=
=
，则g′（x）=
，
设h（x）=x-2-lnx，则h′（x）=1-
=
＞0，
h（x）在（1，+∞）上为增函数，
∵h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
∴?x0∈（3，4），且h（x0）=0，
当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在（1，x0）上单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）上单调递增．
∴g（x）min=g（x0）=
，
∵h（x0）=x0-2-lnx0=0，
∴x0-1=1+lnx0，g（x0）=x0，
∴k＜x0∈（3，4），∴k的最大值为3．
∵函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3，
∴f′（e）=3，∴a+lne+1=3，∴a=1，
∴f（x）=x+xlnx，f′（x）=lnx+2，
由f′（x）＞0得x＞
| 1 |
| e2 |
| 1 |
| e2 |
∴f（x）的单调递减区间为（0，
| 1 |
| e2 |
| 1 |
| e2 |
（2）当x＞1时，令g（x）=
| f(x) |
| x-1 |
| x+xlnx |
| x-1 |
| x-2-lnx |
| (x-1)2 |
设h（x）=x-2-lnx，则h′（x）=1-
| 1 |
| x |
| x-1 |
| x |
h（x）在（1，+∞）上为增函数，
∵h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
∴?x0∈（3，4），且h（x0）=0，
当x∈（1，x0）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）在（1，x0）上单调递减；
当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）在（x0，+∞）上单调递增．
∴g（x）min=g（x0）=
| x0+x0lnx0 |
| x0-1 |
∵h（x0）=x0-2-lnx0=0，
∴x0-1=1+lnx0，g（x0）=x0，
∴k＜x0∈（3，4），∴k的最大值为3．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题时合理构造函数是解题的关键．
练习册系列答案
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