题目内容
已知离心率分别为e1、e2的椭圆C1：
+
=1（a＞b＞0）和双曲线C2：
-
=1的两个公共顶点为A、B，若P、Q分别为双曲线C2和椭圆C1上不同于A、B的动点，且满足
+
=λ（
+
）（λ∈R，|λ|＞1）．如果直线AP、BP、AQ、BQ的斜率依次记为k1、k2、k3、k4．
（1）求证：e12+e22=2；
（2）求证：k1+k2+k3+k4=0；
（3）设F1、F2分别为椭圆C1和双曲线C2的右焦点，若PF2∥QF1，求k12+k22+k32+k42的值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| AP |
| BP |
| AQ |
| BQ |
（1）求证：e12+e22=2；
（2）求证：k1+k2+k3+k4=0；
（3）设F1、F2分别为椭圆C1和双曲线C2的右焦点，若PF2∥QF1，求k12+k22+k32+k42的值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由已知得e1=
=
，e2=
=
，由此能证明e12+e22=2．
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），x12-a2=
y12，k1+k2=
+
=
×
，k3+k4=
+
=-
×
，由此能证明k1+k2+k3+k4=0．
（3）由①得(k1+k2)2=
×
=4，由（2）得k3+k4=-（k1+k2），(k3+k4)2=4，k1k2=
，k3k4=
×
=-
，由此能求出k12+k22+k32+k42的值．
| c |
| a |
| ||
| a |
| c′ |
| a |
| ||
| a |
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），x12-a2=
| a2 |
| b2 |
| y1 |
| x1+a |
| y1 |
| x1-a |
| 2b2 |
| a2 |
| x1 |
| y1 |
| y2 |
| x2+a |
| y2 |
| x2-a |
| 2b2 |
| a2 |
| x2 |
| y2 |
（3）由①得(k1+k2)2=
| 4b4 |
| a4 |
| a4 |
| b4 |
| b2 |
| a2 |
| y2 |
| x2+a |
| y2 |
| x1-a |
| b2 |
| a2 |
解答：
（1）证明：∵离心率分别为e1、e2的椭圆C1：
+
=1（a＞b＞0）和双曲线C2：
-
=1，
∴由已知得e1=
=
，e2=
=
，
∴e12+e22=
+
=2．
（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∵
-
=1，∴x12-a2=
y12，
k1+k2=
+
=
=
×
，①
∵
+
=1，∴x22-a2=-
y22，
∴k3+k4=
+
=
=-
×
，②
∵
=λ
，∴O、P、Q三点共线，
∴
=
，
∴由①②得k1+k2+k3+k4=0，
（3）解：
+
=λ2与
-
=1联立，
得x12=
a2，y12=
b2，
∵PF2∥QF1，λ＞1，∴|OF2|=λ|OF1|，
∴λ2=
，∴
=
=
，
由①得(k1+k2)2=
×
=4，
由（2）得k3+k4=-（k1+k2），∴(k3+k4)2=4，
又∵k1k2=
×
=
=
，
k3k4=
×
=
=-
，
∴k12+k22+k32+k42
=（k1+k2）2+(k3+k4)2-2(k1k2+k3k4)=4+4-0=8．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
∴由已知得e1=
| c |
| a |
| ||
| a |
| c′ |
| a |
| ||
| a |
∴e12+e22=
| a2-b2 |
| a2 |
| a2+b2 |
| a2 |
（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∵
| x12 |
| a2 |
| y12 |
| b2 |
| a2 |
| b2 |
k1+k2=
| y1 |
| x1+a |
| y1 |
| x1-a |
| 2x1y1 |
| x12-a2 |
| 2b2 |
| a2 |
| x1 |
| y1 |
∵
| x22 |
| a2 |
| y22 |
| b2 |
| a2 |
| b2 |
∴k3+k4=
| y2 |
| x2+a |
| y2 |
| x2-a |
| 2x2y2 |
| x22-a2 |
| 2b2 |
| a2 |
| x2 |
| y2 |
∵
| OP |
| OQ |
∴
| x1 |
| y1 |
| x2 |
| y2 |
∴由①②得k1+k2+k3+k4=0，
（3）解：
| x12 |
| a2 |
| y12 |
| b2 |
| x12 |
| a2 |
| y12 |
| b2 |
得x12=
| λ2+1 |
| 2 |
| λ2-1 |
| 2 |
∵PF2∥QF1，λ＞1，∴|OF2|=λ|OF1|，
∴λ2=
| a2+b2 |
| a2-b2 |
| x12 |
| y12 |
| (λ2+1)a2 |
| (λ2-1)b2 |
| a4 |
| b4 |
由①得(k1+k2)2=
| 4b4 |
| a4 |
| a4 |
| b4 |
由（2）得k3+k4=-（k1+k2），∴(k3+k4)2=4，
又∵k1k2=
| y1 |
| x1+a |
| y1 |
| x1-a |
| y12 |
| x12-a2 |
| b2 |
| a2 |
k3k4=
| y2 |
| x2+a |
| y2 |
| x1-a |
| y22 |
| x22-a2 |
| b2 |
| a2 |
∴k12+k22+k32+k42
=（k1+k2）2+(k3+k4)2-2(k1k2+k3k4)=4+4-0=8．
点评：本题考查e12+e22=2的证明，考查k1+k2+k3+k4=0的证明，考查k12+k22+k32+k42的值的求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．
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