Question

根据要求，求x的取值范围：
（1）tan

x

2

≥

3

；
（2）cot2x≤-

3

；
（3）|sinx|≤|cosx|；
（4）log_xtanx＞0；
（5）log

3

sin

x

2

-log

3

cos

x

2

＞-1且-2π＜x＜2π．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：由条件利用对应的三角函数的图象和性质，求出三角不等式的解集．

解答： 解：（1）由tan

x

2

≥

3

，可得kπ+

π

3

≤

x

2

＜kπ+

π

2

，k∈z，求得 2kπ+

2π

3

≤x＜2kπ+π，k∈z，即要求的x的范围为{x|2kπ+

2π

3

≤x＜2kπ+π，k∈z }．
（2）由cot2x≤-

3

，可得-

3

3

≤tanx＜0，可得kπ-

π

6

≤x＜kπ+0，k∈z，即要求的x的范围为{x|kπ-

π

6

≤x＜kπ+0，k∈z}．
（3）由|sinx|≤|cosx|，可得 cos²x-sin²x≥0，cos2x≥0，可得 2kπ-

π

2

≤2x≤2kπ+

π

2

，k∈z，
求得 kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

，k∈z，即要求的x的范围为{x|kπ-

π

4

≤x≤kπ+

π

4

，k∈z}．
（4）由 log_xtanx＞0，可得

x＞1 tanx＞1

 ①，或

0＜x＜1 0＜tanx＜1

 ②．
解①求得 kπ+

π

4

＜x＜kπ+

π

2

，k∈z，且k≥0．解②求得 0＜x＜

π

4

．
综上可得，即要求的x的范围为{x|kπ+

π

4

＜x＜kπ+

π

2

，k∈z，且k≥0；或 0＜x＜

π

4

}．
（5）由log

3

sin

x

2

-log

3

cos

x

2

＞-1，可得log

3

（tan

x

2

）＞-1，故有 tan

x

2

＞-

3

，解得 kπ-

π

3

＜

x

2

＜kπ+

π

2

，k∈z，
即 2kπ-

2π

3

＜x＜2kπ+π．再结合-2π＜x＜2π，可得-

2π

3

＜x＜π，即即要求的x的范围为（-

2π

3

，π）．

点评：本题主要考查三角函数的图象特征，三角不等式的解法，属于基础题．