Question

设函数f（x）=

x

m(x+2)

（m∈R），方程f（x）=x有唯一解，其中m为常数，又f（a₁）=

2

5

，f（a_n）=a_n+1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式
（Ⅲ）若b_n=

4

an

-7且C_n=

b2n+1+b2n

2bn+1bn

（n∈N⁺），求证：c₁+c₂+…+c_n＜n+1．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（Ⅰ）根据方程f（x）=x有唯一解，根据一元二次方程的性质，即可求出m，则可以求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）根据函数的表达式，利用构造法即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求出b_n和c_n的通项公式，利用裂项法进行求和，即可证明c₁+c₂+…+c_n＜n+1．

解答： 解：（Ⅰ）∵方程f（x）=x有唯一解，
∴

x

m(x+2)

=x，（m≠0），可以化简为mx（x+2）=x，
即mx²+（2m-1）x=0，
当且仅当2m-1=0，即m=

1

2

时，方程f（x）=x有唯一解，则f（x）=

2x

x+2

．
（Ⅱ）由已知f（a_n）=a_n+1，得

2an

an+2

=an+1，
则

1

an+1

=

1

an

+

1

2

，即

1

an+1

-

1

an

=

1

2

，
所以数列{

1

an

}是以

1

a1

为首项，

1

2

为公差的等差数列，
∵f（a₁）=

2

5

，∴

2a1

a1+2

=

2

5

，解得a₁=

1

2

，
则

1

an

=2+

1

2

（n-1）=

n+3

2

，
故数列{a_n}的通项公式a_n=

2

n+3

；
（Ⅲ）∵b_n=

4

an

-7，∴b_n=2n-1，
则c_n=

bn+12+bn2

2bn+1bn

=

(2n+1)2+(2n-1)2

2(2n+1)(2n-1)

=

4n2+1

4n2-1

=1+

2

(2n-1)(2n+1)

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

，
则c₁+c₂+…+c_n=（1+1-

1

3

）+（1+

1

3

-

1

5

）+…+（1+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=n+1-

1

2n+1

＜n+1．
即不等式成立．

点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和，根据递推熟练，通过构造法求出数列的通项公式是解决本题的关键．要求熟练掌握裂项法求和．综合性较强，有一定的难度．