Question

如图在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=2，CC₁=4，E是BB₁上的一点，且EB₁=1，D、F、G分别是CC₁、B₁C₁、A₁C₁的中点，EF与B₁D相交于H．
（Ⅰ）求证：B₁D⊥平面ABD；
（Ⅱ）求证：平面EFG∥平面ABD；
（Ⅲ）求平面EG与平面ABD的距离．

Answer 1

考点：平面与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件得AB⊥平面BB₁C₁C，从而AB⊥B₁D，又B₁D⊥BD，由此能证明B₁D⊥平面ABD．
（Ⅱ）由已知条件推导出EF∥平面ABD，GF∥平面ABD，由此能证明平面EFG∥平面ABD．
（Ⅲ）由已知条件推导出HD为平行平面EFG与ABD之间的距离，由此能求出结果．

解答： （Ⅰ）证明：由直三棱柱的性质，得平面ABC⊥平面BB₁C₁C，
又AB⊥BC，∴AB⊥平面BB₁C₁C，
又B₁D?平面BB₁C₁C，
∴AB⊥B₁D，
∵BC=CD=DC₁=B₁C₁=2，
∴在Rt△BCD和Rt△DC₁B₁中，
∠BDC=∠B₁DC₁=45°，
∴∠BDB₁=90°，即B₁D⊥BD，
又AB∩BD=B，
∴B₁D⊥平面ABD．
（Ⅱ）证明：由题意知EB₁=B₁F=1，
∴在Rt△EB₁F中，∠FEB₁=45°，
又∠DBB₁=45°，∴EF∥BD，
∵BD?平面ABD，EF不包含于平面ABD，
∴EF∥平面ABD，
∵G、F分别为A₁C₁、B₁C₁的中点，
∴GF∥A₁B₁，又A₁B₁∥AB，
∴GF∥AB，
∵AB?平面，GF不包含平面ABD，
∴GF∥平面ABD，
∵EF?平面EFG，GF?平面EFG，EF∩GF=F，
∴平面EFG∥平面ABD．
（Ⅲ）解：∵B₁D⊥平面ABD，平面EGF∥平面ABD，
∴B₁D⊥平面EGF，
∴HD为平行平面EFG与ABD之间的距离，
∴HD=B₁D-B₁H=2

2

-

2

2

=

3 2

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查平面与平面平行的证明，考查两平行平面间的距离的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．