题目内容
已知向量
=（2cosx，
sin2x），
=（cosx，1），函数f（x）=
•
．
①求f（x）的解析式和函数图象的对称轴方程；
②在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，满足a+c≥2b，求f（B）的范围．
| m |
| 3 |
| n |
| m |
| n |
①求f（x）的解析式和函数图象的对称轴方程；
②在△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，满足a+c≥2b，求f（B）的范围．
考点：平面向量数量积的运算,余弦定理
专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析：①利用数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式可得：函数f（x）=
•
=2sin(2x+
)+1，
由sin(2x+
)=±1，即可解得函数图象的对称轴方程．
②由余弦定理可得：cosB=
，再利用基本不等式可得cosB≥
，可得B∈(0，
]，(2B+
)∈(
，
].sin(2B+
)∈[
，1]．即可得出函数f（B）的值域．
| m |
| n |
| π |
| 6 |
由sin(2x+
| π |
| 6 |
②由余弦定理可得：cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
解答：
解：①函数f（x）=
•
=2cos2x+
sin2x=cos2x+1+
sin2x=2sin(2x+
)+1，
由sin(2x+
)=±1，解得2x+
=kπ+
，即x=
+
（k∈Z）．
∴函数图象的对称轴方程为x=
+
（k∈Z）．
②由余弦定理可得：cosB=
≥
=
≥
=
，当且仅当a=c时取等号．
∴B∈(0，
]．∴(2B+
)∈(
，
]．
∴sin(2B+
)∈[
，1]．
∴f（B）=2sin(2B+
)+1∈[2，3]．
| m |
| n |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
由sin(2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 6 |
∴函数图象的对称轴方程为x=
| kπ |
| 2 |
| π |
| 6 |
②由余弦定理可得：cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
a2+c2-(
| ||
| 2ac |
| 3a2+3c2-2ac |
| 8ac |
| 4ac |
| 8ac |
| 1 |
| 2 |
∴B∈(0，
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴sin(2B+
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∴f（B）=2sin(2B+
| π |
| 6 |
点评：本题考查了数量积运算、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角函数的图象与性质、基本不等式的性质、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
练习册系列答案
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设函数f（x）=
，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-1.6]=-2，[1]=1，[1.2]=1，若直线y=kx+1（k＜0）与函数y=f（x）的图象恰有2个不同的交点，则k的取值范围是（ ）
|
A、[-
| ||||
B、[-1，-
| ||||
C、（-1，-
| ||||
D、（-
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