求下列函数的导数：
（1）y=2x³+log₂x；
（2）y=

cosx

sinx

+2^x．

求与双曲线

x2

16

-

y2

4

=1有公共焦点，且过点（3

2

，2）的双曲线的标准方程，并写出其渐近线方程．

若x，y∈R⁺，且

1

x

+

4

y

=1，求u=x+y的最小值．

设函数f（x）=alnx+bx²+x的极值点是x=1和x=2．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[1，3]上的最大值．

学习曲线是1936年美国廉乃尔大学T．P．Wright博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的．已知某类学习任务的学习曲线为：f（t）=

3

4+a•2-t

•100%（其中f（t）为掌握该任务的程度，t为学习时间），且这类学习任务中的某项任务满足f（2）=60%．
（1）求f（t）的表达式，计算f（0）并说明f（0）的含义；
（2）若定义

f(t)

2t-1

为该类学习任务在t时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间t∈（1，2）时，学习效率最佳．当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围．

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率e=

6

3

，且椭圆C上的点到原点的距离的最大值为

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动点P满足

OP

=

OM

+3

ON

，其中M、N是椭圆上不同两点，直线OM、ON的斜率之积为-

1

3

，求动点P的轨迹方程．

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且2S_n=2-a_n．求数列{a_n}的通项公式．

已知函数f（x）=x-ln（x+a）（a是常数）． 
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当y=f（x）在x=1处取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x²+b在[

1

2

，2]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）求证：当n≥2，n∈N^*时，（1+

1

22

）（1+

1

32

）…（1+

1

n2

）＜e．

设函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且当x=1时，f（x）取极小值-

2

3

（Ⅰ）求a、b、c、d的值；
（Ⅱ）若x₁，x₂∈[-1，1]时，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤

4

3

．
（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论．

已知函数f（x）=xlnx-ax²，x＞0
（1）当a=2时，函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若在区间（2，3）内任取实数p，q（p＞q）都有不等式

f(p)-f(q)

p-q

＜1恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）有两个极值点x₁，x₂（0＜x₁＜x₂），求证：f（x₂）＞-

1

2

．