题目内容
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的离心率e=
，且椭圆C上的点到原点的距离的最大值为
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动点P满足
=
+3
，其中M、N是椭圆上不同两点，直线OM、ON的斜率之积为-
，求动点P的轨迹方程．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| ||
| 3 |
| 3 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）若动点P满足
| OP |
| OM |
| ON |
| 1 |
| 3 |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：（1）利用离心率e=
，且椭圆C上的点到原点的距离的最大值为
，建立方程，求出b，即可求椭圆C的方程；
（2）利用
=
+3
，所以x=x1+3x2，y=y1+3y2，结合OM、ON的斜率之积为-
，即可求动点P的轨迹方程．
| ||
| 3 |
| 3 |
（2）利用
| OP |
| OM |
| ON |
| 1 |
| 3 |
解答：
解：（1）根据题意知a=
，
=
，
所以，b2=1，
故所求椭圆方程为
+y2=1
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），动点P（x，y），
因为M、N在椭圆上，
所以x1+3y12=3，x2+3y22=3，
又
=
+3
，
所以x=x1+3x2，y=y1+3y2
则x2+3y2=(x1+3x2)2+3(y1+3y2)2=x12+3y12+9x22+27y22+6x1x2+18y1y2
，
因为OM、ON的斜率之积为-
，
所以
•
=-
，
即x1x2+3y1y2=0，
所以动点P的轨迹方程为x2+3y2=30．
| 3 |
1-
|
| ||
| 3 |
所以，b2=1，
故所求椭圆方程为
| x2 |
| 3 |
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），动点P（x，y），
因为M、N在椭圆上，
所以x1+3y12=3，x2+3y22=3，
又
| OP |
| OM |
| ON |
所以x=x1+3x2，y=y1+3y2
则x2+3y2=(x1+3x2)2+3(y1+3y2)2=x12+3y12+9x22+27y22+6x1x2+18y1y2
|
因为OM、ON的斜率之积为-
| 1 |
| 3 |
所以
| y1 |
| x1 |
| y2 |
| x2 |
| 1 |
| 3 |
即x1x2+3y1y2=0，
所以动点P的轨迹方程为x2+3y2=30．
点评：本题考查椭圆的几何性质，考查标准方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定椭圆的标准方程是关键．
练习册系列答案
天天向上课时同步训练系列答案
阳光课堂同步练习系列答案
相关题目