Question

学习曲线是1936年美国廉乃尔大学T．P．Wright博士在飞机制造过程中，通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的．已知某类学习任务的学习曲线为：f（t）=

3

4+a•2-t

•100%（其中f（t）为掌握该任务的程度，t为学习时间），且这类学习任务中的某项任务满足f（2）=60%．
（1）求f（t）的表达式，计算f（0）并说明f（0）的含义；
（2）若定义

f(t)

2t-1

为该类学习任务在t时刻的学习效率指数，研究表明，当学习时间t∈（1，2）时，学习效率最佳．当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（t）=

3

4+a•2-t

•100%，及f（2）=60%代入可求a，进而可求f（t），f（0），f（0）表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度；
（2）令学习效率指数y=

f(t)

2t-1

，t∈（1，2）则y=

3

2(2t+1)

，利用函数的单调性，即可求学习效率指数相应的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（t）=

3

4+a•2-t

•100%，且f（2）=60%
∴

3

4+a•2-2

•100%=60%，可得a=4
∴f（t）=

3

4(1+2-t)

•100%（t≥0）
∴f（0）=37.5%
f（0）表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%；
（2）令学习效率指数y=

f(t)

2t-1

，t∈（1，2）∴y=

3

2(2t+1)

，
∵y=

3

2(2t+1)

在（0，+∞）上为减函数，t∈（1，2）∴y∈(

3

10

，

1

2

)．
故所求学习效率指数的取值范围是(

3

10

，

1

2

)．

点评：本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．