Question

设函数f（x）=ax³-2bx²+cx+4d（a、b、c、d∈R）图象关于原点对称，且当x=1时，f（x）取极小值-

2

3

（Ⅰ）求a、b、c、d的值；
（Ⅱ）若x₁，x₂∈[-1，1]时，求证：|f（x₁）-f（x₂）|≤

4

3

．
（Ⅲ）当x∈[-1，1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得bx²-2d=0恒成立，从而f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c，由题意得3a+c=0，且a+c=-

2

3

，由此能求出结果．
（Ⅱ）x=1时，f（x）取极小值-

2

3

，令f′（x）=0，得x=±1，由此利用导数性质能证明x₁，x₂∈[-1，1]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）+|f（x₂）|≤

2

3

+

2

3

=

4

3

．
（Ⅲ）假设图象上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得过此两点处的切线互相垂直，由f′（x）=x²-1，知两点处的切线斜率分别为k1=x12-1，k2=x22-1，且(x12-1)(x22-1)=-1，由已知条件推导出(x12-1)(x22-1)≥0，矛盾，故假设不成立．由此得到图象上不存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直

解答： （Ⅰ）解：∵函数f（x）图象关于原点对称，
∴对任意实数x有f（-x）=-f（x），
∴-ax³-2bx²-cx+4d=-ax³+2bx²-cx-4d，
即bx²-2d=0恒成立，
∴b=0，d=0，∴f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c，…（2分）
∵x=1时，f（x）取极小值-

2

3

，∴3a+c=0，且a+c=-

2

3

，
解得a=

1

3

，c=-1．
（Ⅱ）证明：∵x=1时，f（x）取极小值-

2

3

，令f′（x）=0，得x=±1，
∵x∈（-∞，-1），或x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，
x∈（-1，1）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[-1，1]上是减函数，且f(x)max=f(-1)=

2

3

，f(x)min=f(1)=-

2

3

，
∴在[-1，1]上，|f（x）|≤

2

3

，
于是x₁，x₂∈[-1，1]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x₁）|+|f（x₂）|≤

2

3

+

2

3

=

4

3

．
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤

4

3

．
（Ⅲ）解：当x∈[-1，1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立．
假设图象上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
使得过此两点处的切线互相垂直，
则由f′（x）=x²-1，知两点处的切线斜率分别为k1=x12-1，k2=x22-1，
且(x12-1)(x22-1)=-1，（*）
∵x₁，x₂∈[-1，1]，∴x12-1≤0，x22-1≤0，
∴(x12-1)(x22-1)≥0，
此与（*）相矛盾，故假设不成立．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．