在极坐标系中，圆C是以点C（2，-

π

6

）为圆心、2为半径的圆．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）求圆C被直线l：θ=-

5π

12

所截得的弦长．

已知椭圆C的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线l过椭圆的右焦点且交椭圆于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点．
（1）若椭圆的左顶点为（-2，0），离心率e=

1

2

，求椭圆C的方程；
（2）设向量

OP

=λ（

OA

+

OB

）（λ＞0），若点P在椭圆C上，求λ的取值范围．

函数f（x）=

1

3

x³-x²+bx在x=3处取得极值．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递减区间．

在公务员招聘中，既有文化考试又有面试．我省一单位在2014年公务员考试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100）得到的频率分布直方图如图所示．

（Ⅰ）求a的值以及这100名考生的平均成绩；
（Ⅱ）若该单位决定在笔试成绩较高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名考生进入第二轮面试．
（i）已知考生甲和考生乙的成绩分别在第三组与第四组，求考生甲和考试乙同时进入第二轮面试的概率；
（ii）单位决定在这6名考生中随机抽取3名学生接受单位领导的面试，设第4组中有ξ名考生接受领导的面试，求ξ的分布列及数学期望．

对于正整数n≥2，用T_n表示关于x的一元二次方程x²+2ax+b=0有实数根的有序数组（a，b）的组数，其中a，b∈{1，2，…，n²}（a和b可以相等）；对于随机选取的a，b∈{1，2，…，n}（a和b可以相等），记P_n为关于x的一元二次方程x²+2ax+b=0有实数根的概率．
（1）求T n2和P n2；
（2）求证：对任意正整数n≥2，有P_n＞1-

1

n

．

已知S_n=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
（1）求S₂，S₄的值；
（2）若T_n=

7n+11

12

，试比较S2n与T_n的大小，并给出证明．

已知A（1，0），B（-1，0），P是平面上的一个动点，且满足|

PA

|•|

AB

|=

PB

•

AB

，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若直线y=x+m（m≠0）与点P的轨迹交于M，N两点，且

OM

⊥

ON

，求m．

如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABD=30°，AB=2CD=2AD=2DE=2，DE⊥平面ABCD，EF∥BD，且BD=2EF．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF；
（Ⅱ）若二面角C-BF-D的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值．

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

n(a1+an)

2

．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）若a_n=2n-1，数列{b_n}满足：b₁=3，b_n-b_n-1=a_n+1（n≥2），求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

已知函数f（x）=x³-ax²+2（a∈R），f′（x）为f（x）的导函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）若对一切的实数x，有f′（x）≥|x|-

3

4

成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）当a=0时，在曲线y=f（x）上是否存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），使得曲线在A，B两点处的切线均与直线x=2交于同一点？若存在，求出交点纵坐标的最大值；若不存在，请说明理由．