题目内容
已知Sn=1+
+
+…+
．
（1）求S2，S4的值；
（2）若Tn=
，试比较S2n与Tn的大小，并给出证明．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
（1）求S2，S4的值；
（2）若Tn=
| 7n+11 |
| 12 |
考点：数列的求和
专题：等差数列与等比数列
分析：（1）令n=1，4代入Sn=1+
+
+…+
，求出S2，S4的值；
（2）令n=1，2，3代入S2n与Tn，并比较大小关系，进行猜想：当n≥3时，S2n＞Tn，再用数学归纳法证明，再证明n=k+1成立时需用上假设，注意在证明过程的放缩目标，一定与结论有关系．
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
（2）令n=1，2，3代入S2n与Tn，并比较大小关系，进行猜想：当n≥3时，S2n＞Tn，再用数学归纳法证明，再证明n=k+1成立时需用上假设，注意在证明过程的放缩目标，一定与结论有关系．
解答：
解：（1）由题意得，Sn=1+
+
+…+
，
则S2=1+
=
，
S4=1+
+
+
=
，…（2分）
（2）由Tn=
得，
当n=1，2时，T1=
=
，T2=
=
，所以S2n=Tn，
当n=3时，T3=
=
，
S23=S8=1+
+
+
+
+
+
+
=
＞
=T3，
于是猜想，当n≥3时，S2n＞Tn．…（4分）
下面用数学归纳法证明：①当n≥3，显然成立；
②假设n=k（k≥3）时，S2k＞Tk；
那么当n=k+1时，S2k+1=S2k+
+
+…+
＞
+（
+
+…+
）+（
+
+…+
）
＞
+
×2k-1+
×2k-1
=
+
+
=
，
这就是说，当n=k+1时，S2n＞Tn．
根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n，都有S2n＞Tn．
综上得，当n=1，2时，S2n=Tn；当n≥3时，S2n＞Tn． …（10分）
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
则S2=1+
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
S4=1+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 25 |
| 12 |
（2）由Tn=
| 7n+11 |
| 12 |
当n=1，2时，T1=
| 7+11 |
| 12 |
| 3 |
| 2 |
| 7×2+11 |
| 12 |
| 25 |
| 12 |
当n=3时，T3=
| 7×3+11 |
| 12 |
| 8 |
| 3 |
S23=S8=1+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 7 |
| 1 |
| 8 |
| 761 |
| 280 |
| 8 |
| 3 |
于是猜想，当n≥3时，S2n＞Tn．…（4分）
下面用数学归纳法证明：①当n≥3，显然成立；
②假设n=k（k≥3）时，S2k＞Tk；
那么当n=k+1时，S2k+1=S2k+
| 1 |
| 2k+1 |
| 1 |
| 2k+2 |
| 1 |
| 2k+1 |
＞
| 7k+11 |
| 12 |
| 1 |
| 2k+1 |
| 1 |
| 2k+2 |
| 1 |
| 2k+2k-1 |
| 1 |
| 2k+2k-1+1 |
| 1 |
| 2k+2k-1+2 |
| 1 |
| 2k+1 |
＞
| 7k+11 |
| 12 |
| 1 |
| 2k+2k-1 |
| 1 |
| 2k+1 |
=
| 7k+11 |
| 12 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 7(k+1)+11 |
| 12 |
这就是说，当n=k+1时，S2n＞Tn．
根据①、②可知，对任意不小于3的正整数n，都有S2n＞Tn．
综上得，当n=1，2时，S2n=Tn；当n≥3时，S2n＞Tn． …（10分）
点评：本题考查数列求和问题，主要考查数列与不等式的综合问题，以及用数学归纳法证明与正整数有关的命题，还有放缩法的应用，难度很大．
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