Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=

n(a1+an)

2

．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列；
（2）若a_n=2n-1，数列{b_n}满足：b₁=3，b_n-b_n-1=a_n+1（n≥2），求数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由数列递推式得到a_n，进一步得到a_n+1，作差后得答案；
（2）利用累加法求得b_n，取倒数后由裂项相消法求得数列{

1

bn

}的前n项和T_n．

解答： （1）证明：由S_n=

n(a1+an)

2

，
当n≥2时，Sn-1=

(n-1)(a1+an-1)

2

，
∴a_n=S_n-S_n-1=

n(a1+an)

2

-

(n-1)(a1+an-1)

2

．
同理有a_n+1=

(n+1)(a1+an+1)

2

-

n(a1+an)

2

，
从而a_n+1-a_n=

(n+1)(a1+an+1)

2

-n（a₁+a_n）+

(n-1)(a1+an-1)

2

，
整理得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1=a₂-a₁．
从而{a_n}是等差数列；
（2）∵a_n=2n-1，数列{b_n}满足：b₁=3，b_n-b_n-1=a_n+1（n≥2），
∴b_n-b_n-1=2n+1，
则b₂-b₁=2•2+1．
b₃-b₂=2•3+1．
b₄-b₃=2•4+1．
…
b_n-b_n-1=2n+1（n≥2）．
∴b_n-b₁=2（2+3+4+…+n）+n-1．
∴bn=3+2•

(n+2)(n-1)

2

+n-1=n（n+2）．

1

bn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)．
∴数列{

1

bn

}的前n项和T_n=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)+(

1

n

-

1

n+2

)]
=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)=

3n2+5n

4(n+1)(n+2)

．

点评：本题考查等差关系的确定，考查了裂项相消法求数列的和，是中档题．