Question

函数f（x）=

1

3

x³-x²+bx在x=3处取得极值．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调递减区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=x²-2x+b，由于函数f（x）在x=3处取得极值，可得f′（3）=0，解得即可．
（2）由（1）知f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），解出f′（x）＜0即可得出．

解答： 解：（1）f′（x）=x²-2x+b，
∵函数f（x）在x=3处取得极值，
∴f′（3）=0，即9-6+b=0
解得b=-3．检验成立．
∴函数f（x）的解析式为f（x）=

1

3

x³-x²-3x．
（2）由（1）知f′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
令f′（x）＜0得-1＜x＜3，
∴f（x）的单调递减区间为（-1，3）．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．