题目内容
已知椭圆C的方程是
+
=1，（a＞b＞0），倾斜角为45°的直线l过椭圆的右焦点且交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．
（1）若椭圆的左顶点为（-2，0），离心率e=
，求椭圆C的方程；
（2）设向量
=λ（
+
）（λ＞0），若点P在椭圆C上，求λ的取值范围．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）若椭圆的左顶点为（-2，0），离心率e=
| 1 |
| 2 |
（2）设向量
| OP |
| OA |
| OB |
考点：直线与圆锥曲线的综合问题,平面向量数量积的运算
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（1）由已知a=2，e=
=
，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线l的方程为y=x-c．由
，得（b2+a2）x2-2a2cx+a2（c2-b2）=0，由此利用韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出λ的取值范围．
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
（2）设直线l的方程为y=x-c．由
|
解答：
（本小题满分12分）
解：（1）由已知a=2，e=
=
，
∴c=1，b2=a2-c2=3，
∴椭圆方程为
+
=1．…（3分）．
（2）设直线l的方程为y=x-c．
由
，得（b2+a2）x2-2a2cx+a2（c2-b2）=0，
∴x1+x2=
，从而y1+y2=
．…（5分）
∴
+
=(
，
)，
=λ(
+
)=(
，
)，
∵点P在椭圆C上，∴
+
=1…（8分）
4λ2a2c2+4λ2b2c2=（a2+b2）2，
解得λ2=
…（10分）
∴c2+b2=a2，e=
，且0＜e＜1，
∴λ2=
=
=
-
＞
又λ＞0，∴λ＞
即λ的取值范围是(
，+∞)．…（12分）
解：（1）由已知a=2，e=
| c |
| a |
| 1 |
| 2 |
∴c=1，b2=a2-c2=3，
∴椭圆方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）设直线l的方程为y=x-c．
由
|
∴x1+x2=
| 2a2c |
| a2+b2 |
| -2b2c |
| a2+b2 |
∴
| OA |
| OB |
| 2a2c |
| a2+b2 |
| -2b2c |
| a2+b2 |
| OP |
| OA |
| OB |
| 2λa2c |
| a2+b2 |
| -2λb2c |
| a2+b2 |
∵点P在椭圆C上，∴
(
| ||
| a2 |
(
| ||
| b2 |
4λ2a2c2+4λ2b2c2=（a2+b2）2，
解得λ2=
| a2+b2 |
| 4c2 |
∴c2+b2=a2，e=
| c |
| a |
∴λ2=
| a2+b2 |
| 4c2 |
| 2a2-c2 |
| 4c2 |
| 1 |
| 2e2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
又λ＞0，∴λ＞
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
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