如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，求证：平面A₁C₁CA⊥平面B₁D₁DB．

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=

5

2

|BF|．
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）若点M（-

16

17

，

2

17

）在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．

设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=ax，且F（x）=f（x）-g（x）．
（1）若F（x）≥1在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=

1

3

时，存在x₁、x₂∈[0，+∞），使f（x₁）=g（x₂）成立，求x₂-x₁的最小值．

判断函数f（x）=x²-4|x|+5与函数g（x）=m图象交点个数．

为选拔选手参加“中国谜语大会”，某中学举行了一次“谜语大赛”活动．为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为n）进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．
（Ⅰ）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=1，BC=2，又PB=1，∠PBC=120°，AB⊥PC，直线AB与直线PD所成的角为60°．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面PBC；
（Ⅱ）求AB的长，并求二面角D-PB-C的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥A-DPB的体积．

无穷数列{a_n}的前n项和S_n=npa_n（n∈N^*），并且a₁≠a₂．S₁₀=45．
（1）求p的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）作函数f（x）=a₂x+a₃x²+…+a_n+1xⁿ，证明：f（

1

3

）＜

3

4

．

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x+3，且f（0）=-3．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设圆C经过上述二次函数的图象与两坐标轴的三个交点，求圆C的方程；
（Ⅲ）设直线l₁：mx-y+2=0与（Ⅱ）中的圆C交于A，B两点，是否存在实数m，使得过点P（1，1）的直线l₂垂直平分弦AB？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

已知命题p：-10≤x≤2，q：x²-2x+1-a²≥0（a＞0），若非p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，AC=9，∠BCA=30°，∠ADB=45°．
（Ⅰ）求sin∠ABC；
（Ⅱ）求BD的长度．