Question

设函数f（x）=e^x+sinx，g（x）=ax，且F（x）=f（x）-g（x）．
（1）若F（x）≥1在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（2）当a=

1

3

时，存在x₁、x₂∈[0，+∞），使f（x₁）=g（x₂）成立，求x₂-x₁的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导确定函数的单调性，将恒成立问题化为最值问题；
（2）化简x₂-x₁后观察形式，利用函数单调性求解．

解答： 解：（1）F（0）=1，F′（0）=2-a，F″（x）=e^x-sinx＞0，
从而F′（x）在[0，+∞）上递增；
①当a≤2时，F′（x）≥F′（0）=2-a≥0，
F（x）在[0，+∞）上单调递增，
则F（x）≥F（0）=1，符合题意；
②当a＞2时，∵F′（0）=2-a＜0，
则存在b∈（0，+∞），F（x）在[0，b）上是减函数，
则当x∈（0，b）时，F（x）＜1，不符合题意．
故a≤2．
（2）当a=

1

3

时，x₂-x₁=3（ex1+sinx1-

1

3

x1），
由（1）知，F（x）在[0，+∞）上单调递增，
∴3（ex1+sinx1-

1

3

x1）=3F（x）≥3F（0）=3，
∴x₂-x₁的最小值为3．

点评：本题综合考查了导数应用，导数可用于判断单调性，进而确定其极值与最值，同时考查了恒成立问题的转化．