椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点A(1，

3

2

)，离心率为

1

2

，左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当△F₂AB的面积为

12 2

7

时，求直线的方程．

如图，平面PAC⊥平面ABC，△PAC是正三角形，∠CAB=90°，AB=2AC．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各条棱长都相等，且CC₁⊥底面ABC，M是侧棱CC₁的中点，则异面直线AB₁和BM所成的角的大小是（　　）

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，棱长为4，点A₁到截面AB₁D₁的距离为（　　）

如图，平面PAC⊥平面ABC，AC⊥BC，△PAC为等边三角形，PE∥BC，过BC作平面交AP、AE分别于点M、N．
（1）求证：MN∥PE；
（2）设

AN

AP

=λ，求λ 的值，使得平面ABC与平面MNC所成的锐二面角的大小为45°．

已知四棱锥P-ABCD中，PA=AB，PA⊥底面ABCD，ABCD是平行四边形，且∠BAC=90°．
（Ⅰ）求证：PB⊥AC；
（Ⅱ）若点E是线段PD上一点，且满足

PE

=2

ED

．求二面角E-AC-B的余弦值．

已知α∈（0，

π

2

），求证：1＜sinα+cosα＜

π

2

．

不等式x²+（p-1）x+1＞x+p，当|p|≤2时恒成立，则x的取值范围是．

如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-A′B′C′D′内灌进一些水，固定容器底面一边BC于桌面上，再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
（1）有水的部分始终呈棱柱形；
（2）没有水的部分始终呈棱柱形；
（3）棱A′D′始终与水面所在平面平行；
（4）水面EFGH所在四边形的面积为定值；
（5）当容器倾斜如图（3）所示时，BE•BF是定值；
其中所有正确命题的序号是．

已知函数f（x）=

ex

x2-ax+a

（1）当0≤a≤4时，试判断函数f（x）的单调性；
（2）当a=0时，对于任意的x∈（1，t]，恒有tf（x）-xf（t）≥f（x）-f（t），求t的最大值．