Question

已知四棱锥P-ABCD中，PA=AB，PA⊥底面ABCD，ABCD是平行四边形，且∠BAC=90°．
（Ⅰ）求证：PB⊥AC；
（Ⅱ）若点E是线段PD上一点，且满足

PE

=2

ED

．求二面角E-AC-B的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明AC⊥平面PAB，可得PB⊥AC；
（Ⅱ）过点E作EO⊥AD于点O，则EO⊥平面ABCD，EO⊥AC．过点O作OG⊥AC于G，则AC⊥平面EOG，所以∠EGO即是所求二面角的平面角的补角．

解答： 解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AC，-----（2分）
∵AB⊥AC，PA∩AB=A．----（4分）
∴AC⊥平面PAB，
∴PB⊥AC．------（6分）
（Ⅱ）过点E作EO⊥AD于点O，则EO⊥平面ABCD，
∴EO⊥AC．
过点O作OG⊥AC于G，则AC⊥平面EOG．------（8分）
则∠EGO即是所求二面角的平面角的补角．-------（10分）
设PA=3，在直角三角形EOG中，EO=1，OG=2，EG=

5

∴cos∠EOG=

OG

EG

=

2 5

5

．----（13分）
∴二面角E-AC-B的余弦值是-

2 5

5

．-----------（14分）

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查二面角E-AC-B的余弦值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．