Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点A(1，

3

2

)，离心率为

1

2

，左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当△F₂AB的面积为

12 2

7

时，求直线的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由于椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点A(1，

3

2

)，离心率为

1

2

，可得

1

a2

+

9

4b2

=1，

c

a

=

1

2

即

b2

a2

=

3

4

，即可解出．
（2）对直线l的斜率分类讨论，与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点A(1，

3

2

)，
∴

1

a2

+

9

4b2

=1①，
又∵离心率为

1

2

，
∴

c

a

=

1

2

，∴

b2

a2

=

3

4

②，
联立①②得a²=4，b²=3．
∴椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1
（2）①当直线的倾斜角为

π

2

时，A(-1，

3

2

)，B(-1，-

3

2

)，
S△ABF2=

1

2

|AB|×|F1F2|=

1

2

×3×2≠

12 2

7

，不适合题意．
②当直线的倾斜角不为

π

2

时，设直线方程l：y=k（x+1），
代入

x2

4

+

y2

3

=1得：（4k²+3）x²+8k²x+4k²-12=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

-8k2

4k2+3

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[ 64k4 (4k2+3)2 - 4(4k2-12) 4k2+3 ]

=

12(1+k2)

4k2+3

．
点F₂到直线l的距离d=

|k+k|

1+k2

，
∴S△ABF2=

1

2

|AB|•d=

12|k| 1+k2

4k2+3

=

12 2

7

，
化为17k⁴+k²-18=0，解得k²=1，∴k=±1，
∴直线方程为：x-y+1=0或x+y+1=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．