Question

已知函数f（x）=

ex

x2-ax+a

（1）当0≤a≤4时，试判断函数f（x）的单调性；
（2）当a=0时，对于任意的x∈（1，t]，恒有tf（x）-xf（t）≥f（x）-f（t），求t的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）求出导数，f′(x)=

ex[x2-(a+2)x+2a]

(x2-ax+a)2

=

ex(x-a)(x-2)

(x2-ax+a)2

分类讨论判断单调性，
（2）把不等式tf（x）-xf（t）≥f（x）-f（t），转化为

f(x)

x-1

≥

f(t)

t-1

，
构造函数g(x)=

f(x)

x-1

=

ex

x2(x-1)

，即证明g（t）为g（x）的最小值，即可求出t的范围．

解答： 解：（1）f′(x)=

ex[x2-(a+2)x+2a]

(x2-ax+a)2

=

ex(x-a)(x-2)

(x2-ax+a)2

当a=0时，f(x)=

ex

x2

，f′(x)=

ex(x-2)

x3

，
故f（x）在区间（-∞，0），（2，+∞）上单调递增，在（0，2）上单调递减；
当a=4时，f(x)=

ex

(x-2)2

，f′(x)=

ex(x-4)

(x-2)3

，
故f（x）在区间（-∞，2），（4，+∞）上单调递增，在（2，4）上单调递减；
当0＜a＜4时，恒有x²-ax+a＜0，
当0＜a＜2时，f（x）在（-∞，a），（2，+∞）上单调递增，在（a，2）上单调递减；
当a=2时，f（x）在区间（-∞，+∞）上单调递增
当2＜a＜4时，f（x）在（-∞，2），（a，+∞）上单调递增，在（2，a）上单调递减；
（2）tf（x）-xf（t）≥f（x）-f（t）
（t-1）f（x）≥（x-1）f（t）

f(x)

x-1

≥

f(t)

t-1

解法一：设函数g(x)=

f(x)

x-1

=

ex

x2(x-1)

，
即g（x）≥g（t）在（1，t]上恒成立．
即g（t）为g（x）的最小值．
g′(x)=

ex(x2-4x+2)

x3(x-1)2

．
故g（x）在区间(1，2+

2

)上单调递减，在区间(2+

2

，+∞)单调递增．
故t≤2+

2

，tmax=2+

2

解法二：

f(x)

x-1

≥

f(t)

t-1

即（x，f（x））与点（1，0）连线斜率的最小值在x=t时取到．
设t_max=t
则

f(t)

t-1

=f′(t)，
即

et

t2(t-1)

=

et(t-2)

t3

t²-4t+2=0，即t=2±

2

，
又t＞1，
故t=2+

2

点评：本题综合考察了导数在证明单调性，证明不等式，求解函数最值中的应用，属于难题．