Question

3．已知点A，B分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点与上顶点．若直线AB被圆x²+y²=a²截得的弦长为2b，记椭圆的离心率为e，则e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得A（-a，0），B（0，b），直线AB的方程为bx-ay=ab，求得圆心到直线的距离，运用弦长公式，可得a，b的方程，再由a，b，c和离心率公式，解方程即可得到所求值．

解答 解：由题意可得A（-a，0），B（0，b），
直线AB的方程为bx-ay=ab，
圆x²+y²=a²的圆心到直线的距离为d=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
由弦长公式可得2$\sqrt{{a}^{2}-\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=2b，
化简可得a⁴-a²b²-b⁴=0，
由b²=a²-c²，可得a⁴-3a²c²+c⁴=0，
结合e=$\frac{c}{a}$，可得e⁴-3e²+1=0，
解得e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$舍去）．
故答案为：$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查离心率的求法，考查直线和圆相交的弦长公式的运用，考查运算能力，属于中档题．