Question

18．已知复数z满足|z+4|=|z+4i|．
（1）若复数z对应复平面上的点P（x，y），求P的轨迹方程；
（2）又若z+$\frac{14-z}{z-1}$∈R，求复数z．

Answer 1

分析 （1）设出z=x+yi（x，y∈R），代入|z+4|=|z+4i|，可得y=x，则P点轨迹可求；
（2）由z+$\frac{14-z}{z-1}$∈R，可得z+$\frac{14-z}{z-1}$=$\overline{z}+\frac{14-\overline{z}}{\overline{z}-1}$，整理得到z=$\overline{z}$或|z-1|²=13，结合（1）可求得z．

解答 解：（1）设z=x+yi（x，y∈R），又|z+4|=|z+4i|，
将z=x+yi代入|z+4|=|z+4i|，可得$\sqrt{（x+4）^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{{x}^{2}+（y+4）^{2}}$，
整理得：x=y，
∴复数z对应复平面上的点P的坐标为：y=x；
（2）由z+$\frac{14-z}{z-1}$∈R，得z+$\frac{14-z}{z-1}$=$\overline{z}+\frac{14-\overline{z}}{\overline{z}-1}$，
即（z-$\overline{z}$）[1-$\frac{13}{（z-1）（\overline{z}-1）}$]=0，
解得z=$\overline{z}$或|z-1|²=13，
由题意可设z=x+xi，
当z=$\overline{z}$时，有x=0；
当|z-1|²=13时，既有x²-x-6=0，解得x=3或x=-2，
综上所述，z=0或z=3+3i或z=-2-2i．

点评 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，对于（2）的求解，利用z∈R?z=$\overline{z}$可使运算简化，是中档题．