题目内容
已知函数y=xf′（x）的图象如图所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则以下说法错误的是（ ）| A、f′（1）+f′（-1）=0 |
| B、当x=-1时，函数f（x）取得极大值 |
| C、方程xf'（x）=0与f（x）=0均有三个实数根 |
| D、当x=1时，函数f（x）取得极小值 |
考点：利用导数研究函数的极值
专题：导数的综合应用
分析：根据函数y=xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（-∞，-1），（-1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性画出函数f（x）的大致图象，从而可以得到正确答案．
解答：
解：由函数y=xf′（x）的图象可知：
当x＜-1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增
当-1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减
当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减
当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．
综上所述，函数f（x）大致图象是
，
故f′（1）=0，f′（-1）=0，所以A、B、D正确；
故选C．
当x＜-1时，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增
当-1＜x＜0时，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减
当0＜x＜1时，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减
当x＞1时，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增．
综上所述，函数f（x）大致图象是
，故f′（1）=0，f′（-1）=0，所以A、B、D正确；
故选C．
点评：本题间接利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．本题有一定的代表性，是一道好题．
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