Question

已知sin（x+

π

6

）=

1

4

，x∈[

π

2

，π]，求sin2x的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的化简求值

专题：计算题,三角函数的求值

分析：由x的范围，求得x+

π

6

的范围，求出cos（x+

π

6

），再由x=（x+

π

6

）-

π

6

，分别求出sinx，cosx，再由二倍角的正弦公式，即可得到所求值．

解答： 解：∵x∈[

π

2

，π]，∴x+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，
∴cos（x+

π

6

）=-

1-sin2(x+ π 6 )

=-

1- 1 16

=-

15

4

，
∴cosx=cos[（x+

π

6

）-

π

6

]=cos（x+

π

6

）cos

π

6

+sin（x+

π

6

）sin

π

6

，
=（-

15

4

）×

3

2

+

1

4

×

1

2

=

1-3 5

8

，
sinx=sin[（x+

π

6

）-

π

6

]=sin（x+

π

6

）cos

π

6

-cos（x+

π

6

）sin

π

6

=

1

4

×

3

2

-（-

15

4

）×

1

2

=

3 + 15

8

，
∴sin2x=2sinxcosx=2×

1-3 5

8

×

3 + 15

8

=

- 15 -7 3

16

．

点评：本题考查三角函数的求值，考查角的变换，以及两角和差的正弦、余弦公式，二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中档题和易错题．