Question

如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，PD：DC：BC=1：1：

2

（1）求PB与平面PDC所成角的大小；
（2）求二面角D-PB-C的正切值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,二面角的平面角及求法

专题：空间角

分析：（1）根据直线与平面的垂直得出PB与平面PDC所成角为∠BPC，在Rt△PBC中，求解即可．
（2）建立坐标系，求解平面PBC的法向量，

n

=（x，y，z）为平面PBD的法向量，利用向量的数量积求解即可．

解答： 解：（1）∵PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，
∴AD⊥平面PCD，
∵AD∥BC，
∴BC⊥平面PCD，
∴PB与平面PDC所成角为∠BPC，
∵Rt△PBC中，PD：DC：BC=1：1：

2

∴BC=PC，
∴∠BPC=45°．
（2）分别以DA，DC，DP为x，y，z轴，设DP=1，则DC=1，BC=

2

，
∴D（0，0，0），P（0，0，1），B（

2

，1，0），C（0，1，0），
∴

PB

=（

2

，1，-1），

DB

=B（

2

，1，0），
∴设

n

=（x，y，z）为平面PBD的法向量，
∴

n • PB =0 n • DB =0

2 x+y-z=0 2 x+y=0

∴

n

=（

2

，-2，0）
∵PC中的为E，
∴DE⊥PC，
∵BC⊥平面PCD，
∴BC⊥DE，
∵BC∩PC=C
∴DE⊥平面PBC，
∴

DE

=（0，

1

2

，

1

2

）为平面PBC的法向量，
∵cos＜

n

，

DE

＞=-

3

3

，
∴sin＜

n

，

DE

＞=

6

3

，
∵二面角D-PB-C是锐二面角
∴二面角D-PB-C的正切值为

6 3

3 3

=

2

．

点评：本题主要考查线面垂直的性质定理的应用，面垂直的判定定理的应用求解法向量，解决面面角问题，难度中等．