Question

已知棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，试用向量法求平面A₁BC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A₁BC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值．

解答： 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
A₁（1，0，1），B（1，1，0），C（0，1，0），

BA1

=（0，-1，1），

BC

=（-1，0，0），
设平面A₁BC的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • BA1 =-y+z=0 n • BC =-x=0

，取y=1，得

n

=（1，0，1），
又平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），
设平面A₁BC与平面ABCD所成的锐二面角为θ，
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

1

2

|=

2

2

，
∴平面A₁BC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为

2

2

．

点评：本题考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．