Question

直线l与圆x²+y²+2x-4y+1=0相交于A，B两点，若弦AB的中点为抛物线x²=4y的焦点，则直线l的方程为（　　）

• A、2x+3y-3=0
• B、x-y-1=0
• C、x+y-1=0
• D、x-y+1=0

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用抛物线方程求得焦点坐标，即AB的中点，设出直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理表示出x₁+x₂求得k，则直线方程可得．

解答： 解：由抛物线方程知2p=4，p=2，
∴抛物线焦点F坐标为（0，1），
当直线l斜率不存在时，x=0带入圆方程求得y=2±

3

，则

2+ 3 +2- 3

2

=2，此时AB的中点不在F点，
∴直线l的斜率存在，设直线方程为y=kx+1，带入圆的方程得，
（k²+1）x²+（2-2k）x-2=0，
∵弦AB的中点F坐标为（0，1），
∴

1

2

（x₁+x₂）=

2-2k

k2+1

=0，
∴k=1，
∴直线l的方程为y=x+1，即x-y+1=0．
故选：D．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．解决此类问题常设出直线方程与圆锥曲线联立，利用韦达定理采取设而不求的方式，来解决问题．