Question

13．命题p：关于x的不等式x²+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立； 命题q：函数f（x）=（3-2a）^x在R上是增函数．若p或q为真，p且q为假，则实数a的取值范围为（-∞，-2]∪[1，2）．

Answer 1

分析 根据不等式的恒成立的等价条件及幂函数的单调性分别求得命题命题p、q为真时a的范围，再利用复合命题真值表判断：若p或q为真，p且q为假，则命题p、q一真一假，分别求出当p真q假时和当p假q真时a的范围，再求并集．

解答 解：关于x的不等式x²+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，
则△=4a²-16＜0，
即a²＜4，解得-2＜a＜2；
命题q为真命题，则3-2a＞1⇒a＜1，
根据复合命题真值表知：若p或q为真，p且q为假，则命题p、q一真一假，
当p真q假时，$\left\{\begin{array}{l}{-2＜a＜2}\\{a≥1}\end{array}\right.$，则1≤a＜2；
当p假q真时，$\left\{\begin{array}{l}{a≥2或a≤-2}\\{a＜1}\end{array}\right.$，则a≤-2，
∴实数a的取值范围是a≤-2或1≤a＜2，
故答案为：（-∞，-2]∪[1，2）

点评 本题借助考查复合命题的真假判断，考查了不等式的恒成立问题及幂函数的单调性，熟练掌握不等式的恒成立的等价条件及幂函数的单调性是解题的关键．