Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且向量$\overrightarrow a=（n，S_n），\overrightarrow b=（4，n+3）$共线；等比数列{b_n}中b₁=a₁，b₂=a₃．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若数列{c_n}的通项公式为c_n=$\frac{1}{{n{a_n}}}+n{b_n}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用向量共线定理、递推关系、等差数列的定义即可证明；
（2）利用“裂项求和”方法、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：$\overrightarrow a与\overrightarrow b$共线，得${S_n}=\frac{n（n+3）}{4}$，
∴当$n=1时，{a_1}=1；当n≥2时，{a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{n+1}{2}$，
∴${a_n}-{a_{n-1}}=\frac{1}{2}$，所以数列{a_n}是等差数列；
（2）由（1）可得a_n=1+$\frac{1}{2}（n-1）$=$\frac{n+1}{2}$．
设等比数列{b_n}的公比为q，∵b₁=a₁，b₂=a₃，∴$\frac{3+1}{2}$=$\frac{1+1}{2}$•q，解得q=2．
∴b_n=2^n-1．
∴c_n=$\frac{1}{{n{a_n}}}+n{b_n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$+n•2^n-1．
设数列$\{\frac{2}{n（n+1）}\}$的前n项和为A_n，
则A_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=2$（1-\frac{1}{n+1}）$=$\frac{2n}{n+1}$．
设数列{n•2^n-1}的前n项和为B_n，
则B_n=1+2×2+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2B_n=2+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，
相减可得：-B_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n•2ⁿ=（1-n）•2ⁿ-1，
∴B_n=（n-1）•2ⁿ+1．
∴${T_n}=\frac{2n}{n+1}+（n-1）{2^n}+1$

点评 本题考查了向量共线定理、递推关系、等差数列的定义、“裂项求和”方法、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．