Question

19．已知f（x）=xlnx-ax（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在[4，+∞）是单调递增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）令h（x）=e^x-2ax-1-f（x），若函数h（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函数的单调性，通过导函数的符号，转化求解函数的最值，推出结果．
（Ⅱ）h（x）=e^x-1-xlnx-ax（x＞0），利用函数的零点，构造函数$F（x）=\frac{{{e^x}-xlnx-1}}{x}$（x＞0），通过导函数判断函数的单调性求出函数的极值，转化利用函数的零点推出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）由题意知x＞0，f'（x）=lnx+1-a．
f（x）在[4，+∞）是单调递增函数⇒f'（x）=lnx+1-a≥0在[4，+∞）上恒成立
⇒a≤（lnx+1）_min，x≥4
?a≤1+2ln2．
（Ⅱ）由题意知h（x）=e^x-1-xlnx-ax（x＞0），
由h（x）=0$（x＞0）⇒a=\frac{{{e^x}-xlnx-1}}{x}$（x＞0），
令$F（x）=\frac{{{e^x}-xlnx-1}}{x}$（x＞0），
∴$F'（x）=\frac{{（{e^x}-1）（x-1）}}{x^2}$，
由于x＞0，可知e^x-1＞0，
当x＞1时，F'（x）＞0；当0＜x＜1时，F'（x）＜0，
故F（x）在（0，1）上是单调减函数，
在[1，+∞）上是单调增函数，所以F（x）≥F（1）=e-1，
函数h（x）有两个零点⇒a＞e-1，
因此实数a的取值范围是（e-1，+∞）．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的最值以及函数的零点的判断与应用，考查分析问题解决问题的能力．