Question

9．将函数f（x）=sinωx（ω＞0）的图象向左平移$\frac{π}{4ω}$个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于直线x=ω对称且在区间（-ω，ω）内单调递增，则ω的值为（　　）

• A． $\frac{{3\sqrt{π}}}{2}$
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{π}}}{2}$
• D． $\frac{3π}{2}$

Answer 1

分析 先根据图象的平移得到g（x），结合正弦函数的单调性和对称轴即可求出ω的值

解答 解：g（x）=f（x+$\frac{π}{4ω}$）=sinω（x+$\frac{π}{4ω}$）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$），
∵函数g（x）在区间（-ω，ω）内单调递增，ω＞0
∴2kπ-$\frac{π}{2}$≤ωx+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z可解得函数g（x）的单调递增区间为：[$\frac{2kπ-\frac{3}{4}π}{ω}$，$\frac{2kπ+\frac{π}{4}}{ω}$]，k∈Z，
∴可得：-ω≥$\frac{2kπ-\frac{3}{4}π}{ω}$①，ω≤$\frac{2kπ+\frac{π}{4}}{ω}$②，k∈Z，
∴解得：0＜ω²≤$\frac{3π}{4}$且0＜ω²≤2kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，
解得：-$\frac{1}{8}$＜k＜$\frac{3}{8}$，k∈Z，
∴k=0，
又∵由ωx+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，可解得函数g（x）的对称轴为：x=$\frac{kπ+\frac{π}{4}}{ω}$，k∈Z，
∴由函数y=g（x）的图象关于直线x=ω对称，可得：ω²=$\frac{π}{4}$，可解得：ω=$\frac{\sqrt{π}}{2}$．
故选：C

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查了正弦函数的图象和性质，正确确定k的值是解题的关键，属于中档题．