Question

4．点P（x，y）的坐标满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-2y≥0\\ x+2y+4≥0\\ 7x+2y-8≤0\end{array}\right.$，由点P向圆C：（x+2）²+（y-1）²=1作切线PA，切点为A，则线段|PA|的最小值为（　　）

• A． $\frac{{4\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{55}}}{5}$
• C． $\sqrt{19}$
• D． $\frac{{\sqrt{33}}}{2}$

Answer 1

分析 画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-2y≥0\\ x+2y+4≥0\\ 7x+2y-8≤0\end{array}\right.$表示的平面区域，根据题意过圆心C作直线x-2y=0的垂线，垂足为P，则线段|PA|的值即为所求．

解答 解：画出不等式组$\left\{\begin{array}{l}x-2y≥0\\ x+2y+4≥0\\ 7x+2y-8≤0\end{array}\right.$表示的平面区域为△ABC所围成的区域（包含边界）：

由点P向圆C：（x+2）²+（y-1）²=1作切线PA，
切点为A，连接AC，则|AC|=r=1；
过圆心C作直线x-2y=0的垂线，垂足为P，
则|PC|=$\frac{|-2-2×1|}{\sqrt{{1}^{2}{+（-2）}^{2}}}$=$\frac{4}{\sqrt{5}}$；
∴线段|PA|的最小值为
$\sqrt{{|PC|}^{2}{-r}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{4}{\sqrt{5}}）}^{2}{-1}^{2}}$=$\frac{\sqrt{55}}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查了线性规划的应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是综合题．