Question

11．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间$[0，\frac{a}{3}]$和$[2a，\frac{7π}{6}]$上均单调递增，则实数a的取值范围是[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]．

Answer 1

分析 根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）；再利用条件以及余弦函数的单调性，求得a的范围．

解答 解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到函数g（x）=2cos（2x-$\frac{π}{3}$）的图象，
若函数g（x）在区间$[0，\frac{a}{3}]$和$[2a，\frac{7π}{3}]$上均单调递增，∴a＞0．
由2kπ-π≤0-$\frac{π}{3}$≤2kπ，且2kπ-π≤2•$\frac{a}{3}$-$\frac{π}{3}$≤2kπ，k∈Z，求得k=0，-π≤a≤$\frac{π}{2}$ ①．
由2nπ-π≤4a-$\frac{π}{3}$≤2nπ，且2nπ-π≤2•$\frac{7π}{6}$-$\frac{π}{3}$≤2nπ，求得n=1，$\frac{π}{3}$≤a≤$\frac{7π}{12}$②，
由①②可得，$\frac{π}{3}$≤a≤$\frac{π}{2}$，
故答案为：$[\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．