Question

9．已知f（x）=ax²+（b-a）x+c-b（其中a＞b＞c），若a+b+c=0，x₁、x₂为f（x）的两个零点，则|x₁-x₂|的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{3}{2}$，2$\sqrt{3}$）
• B． （2，2$\sqrt{3}$）
• C． （1，2）
• D． （1，2$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得出$\frac{c}{a}$的范围，用$\frac{c}{a}$表示出|x₁-x₂|²，从而可求得|x₁-x₂|的取值范围．

解答 解：∵a＞b＞c，a+b+c=0，∴a＞0，c＜0，b=-a-c，∴$\frac{c}{a}$＜0，
由根与系数的关系可知x₁+x₂=$\frac{a-b}{a}$=$\frac{2a+c}{a}$=2+$\frac{c}{a}$，x₁x₂=$\frac{c-b}{a}$=$\frac{a+2c}{a}$=1+$\frac{2c}{a}$，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（2+$\frac{c}{a}$）²-4（1+$\frac{2c}{a}$）=（$\frac{c}{a}$）²-$\frac{4c}{a}$=（$\frac{c}{a}$-2）²-4，
由x₁+x₂=$\frac{a-b}{a}$＞0得2+$\frac{c}{a}$＞0，即$-2＜\frac{c}{a}＜0$，
由x₁x₂=$\frac{c-b}{a}$＜0得1+$\frac{2c}{a}$＜0，即$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$．
∴-2＜$\frac{c}{a}$＜-$\frac{1}{2}$．
∴（$\frac{c}{a}$-2）²-4∈（$\frac{9}{4}$，12），
∴|x₁-x₂|∈（$\frac{3}{2}$，2$\sqrt{3}$）．
故选：A．

点评 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，属于中档题．