Question

10．数列{a_n}和{b_n}中，已知${a_1}{a_2}{a_3}…{a_n}={2^{b_n}}（n∈N*）$，且a₁=2，b₃-b₂=3，若数列{a_n}为等比数列．
（Ⅰ）求a₃及数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令${c_n}=\frac{{2{b_n}}}{n^2}$，是否存在正整数m，n（m≠n），使c₂，c_m，c_n成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）${a_3}=\frac{{{2^{b_3}}}}{{{2^{b_2}}}}={2^{{b_3}-{b_2}}}=8$，又由a₁=2得公比满足8=2q²，解得q再利用指数运算性质、等差数列的求和公式即可得出．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${c_n}=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}$，假设存在正整数m，n（m≠n），使c₂，c_m，c_n成等差数列，则2c_m=c₂+c_n，即$2（1+\frac{1}{m}）=\frac{3}{2}+1+\frac{1}{n}$，可得：$n=\frac{2m}{4-m}$，由 n＞0，得0＜m＜4，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）${a_3}=\frac{{{2^{b_3}}}}{{{2^{b_2}}}}={2^{{b_3}-{b_2}}}=8$，
又由a₁=2得8=2q²，∴q²=4，解得q=2或q=-2，
因为${a_1}{a_2}{a_3}…{a_n}={2^{b_n}}＞0$（n∈N^*），故舍去q=-2，所以${a_n}={2^n}$，
则${a_1}{a_2}{a_3}…{a_n}={2^{（1+2+3+…+n）}}={2^{\frac{n（n+1）}{2}}}$，所以${b_n}=\frac{n（n+1）}{2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知${c_n}=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}$，
假设存在正整数m，n（m≠n），使c₂，c_m，c_n成等差数列，
则2c_m=c₂+c_n，即$2（1+\frac{1}{m}）=\frac{3}{2}+1+\frac{1}{n}$，
所以$\frac{2}{m}=\frac{1}{2}+\frac{1}{n}$，故$n=\frac{2m}{4-m}$，
由 n＞0，得0＜m＜4，
因为m，n为正整数，所以$\left\{\begin{array}{l}m=2\\ n=2\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}m=3\\ n=6\end{array}\right.$，
所以存在正整数m=3，n=6，使c₂，c_m，c_n成等差数列．

点评 本题考查了数列递推关系、指数运算性质、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．