Question

已知四棱锥S-ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，面SAB⊥底面ABCD，SA=SB=

3

2

a，BC=2a，AB=AD=a，点E，F，M分别是SB，BC，CD的中点．
（Ⅰ）求四棱锥S-ABCD的体积；
（Ⅱ）证明：AB⊥SM；
（Ⅲ）证明：SD∥面AEF．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AB的中点O，连结SO，SO⊥AB，SO⊥底面ABCD，由此能求出四棱锥S-ABCD的体积．
（Ⅱ）由已知得SO⊥AB，OM⊥AB，由此能证明AB⊥SM．
（Ⅲ）连结DB交AF于N，连结EN，EN∥SD，由此能证明SD∥面AFE．

解答： （Ⅰ）解：取AB的中点O，连结SO，
∵SA=SB，∴SO⊥AB，
∵面SAB⊥面ABCD，∴SO⊥底面ABCD，
∵SA=SB=

3

2

a，AB=a，
∴SO=

3 4 a2- 1 4 a2

=

2

2

a，
∴V=

1

3

×

2

2

a×

1

2

×a×(a+2a)=

2

4

a3．
（Ⅱ）证明：连结OM，∵SO⊥底面ABCD，∴SO⊥AB，
∵O，M分别为AB，CD的中点，
∴AD∥OM，∴OM⊥AB，
∴AB⊥面SOM，∴AB⊥SM．
（Ⅲ）证明：连结DB交AF于N，连结EN，
∵AD与BF平行且相等，∴N为DB的中点，
∴EN∥SD，
又SD?平面AFE，EN?平面AFE，
∴SD∥面AFE．

点评：本题考查四棱锥S-ABCD的体积的求法，考查异面直线垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，解题时要注意空间思维能力的培养．