Question

已知抛物线C的顶点在原点O，焦点与椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的右焦点重合．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点M（16，0）的直线与抛物线C相交于P，Q两点，求证：∠POQ=

π

2

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出椭圆的右焦点，设出抛物线方程，求得p=8，即可得到抛物线方程；
（2）设出直线PQ的方程，注意斜率不存在的情况，联立抛物线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标公式，即可判断向量OP，OQ垂直，即可得证．

解答： （1）解：由于焦点与椭圆

x2

25

+

y2

9

=1的右焦点（4，0）重合，
设抛物线方程为y²=2px，由

p

2

=4，解得，p=8．
则抛物线方程：y²=16x；
（2）证明：由于M（16，0），若直线斜率存在，可设直线方程为y=k（x-16），
则联立联立抛物线方程y²=16x，得k²x²-2（16k²+8）x+256k²=0，
则x₁+x₂=

32k2+16

k2

，x₁x₂=256，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁-16）（x₂-16）=256+k²（256+x₁x₂-16（x₁+x₂））=0，
则∠POQ=

π

2

；
若PQ的方程为x=16，则将代入抛物线方程，得y=±16，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，则∠POQ=

π

2

．
则有∠POQ=

π

2

成立．

点评：本题考查椭圆、抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，消去未知数，运用韦达定理及向量垂直的条件，考查运算能力，属于中档题．