Question

18．已知两直线l₁：x-2y+4=0，l₂：4x+3y+5=0．
（1）求直线l₁与l₂的交点P的坐标；
（2）若直线ax+2y-6=0与l₁、l₂可组成三角形，求实数a满足的条件；
（3）设A（-1，-2），若直线l过点P，且点A到直线l的距离等于1，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）联立方程组，能求出l₁，l₂的交点．
（2）（ i）当直线ax+2y-6=0过l₁与l₂的交点P时，不能构成三角形，当直线ax+2y-6=0分别与l₁、l₂时，不能构成三角形，由此能求出结果．
（3）若所求直线斜率存在，设所求的直线方程为y-1=k（x+2），由所求的直线与点A（-1，-2）的距离为1，利用点到直线距离公式求出$k=-\frac{4}{3}$，从而求出直线l的方程；若所求直线斜率不存在时，即l为x+2=0，满足题意．由此能求出直线l的方程．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x-2y+4=0\\ 4x+3y+5=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=1\end{array}\right.$…（2分）
∴l₁，l₂的交点为P（-2，1）．…（3分）
（2）（ i）当直线ax+2y-6=0过l₁与l₂的交点P时，不能构成三角形，
∴a•（-2）+2×1-6≠0，解得a≠-2，…（5分）
（ ii）当直线ax+2y-6=0分别与l₁、l₂时，不能构成三角形，
∴$a≠-1，且a≠\frac{8}{3}$
综上所述：$a≠-2，且a≠-1，且a≠\frac{8}{3}$．…（9分）
（3）若所求直线斜率存在，
设所求的直线方程为y-1=k（x+2），即kx-y+（2k+1）=0
∵所求的直线与点A（-1，-2）的距离为1，$\frac{{|{-k+2+2k+1}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，得$k=-\frac{4}{3}$…（11分）
即所求的直线l的方程为4x+3y+5=0…（12分）
若所求直线斜率不存在时，即l为x+2=0，
∵点A（-1，-2）到直线l为x+2=0的距离为1，
∴直线x+2=0也满足题意．…（15分）
故所求的直线l的方程为4x+3y+5=0，或x+2=0．…（16分）

点评 本题考查两直线交点坐标的求法，考查实数满足的条件的求法，考查直线方程的求法，涉及到直线方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．