Question

3．已知a，b均为正数，且a+b=1，c＞1，则（$\frac{{a}^{2}+1}{2ab}$-1）•c+$\frac{\sqrt{2}}{c-1}$的最小值为3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 通过置换1可知$\frac{{a}^{2}+1}{2ab}$-1≥$\sqrt{2}$，进而再次利用基本不等式可得结论．

解答 解：因为a+b=1，
所以$\frac{{a}^{2}+1}{2ab}$-1=$\frac{{a}^{2}+（a+b）^{2}}{2ab}-1$=$\frac{a}{b}$+$\frac{b}{2a}$≥2$\sqrt{\frac{a}{b}•\frac{b}{2a}}$=$\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{a}{b}$=$\frac{b}{2a}$即a=$\sqrt{2}$-1、b=2-$\sqrt{2}$时取等号，
所以（$\frac{{a}^{2}+1}{2ab}$-1）•c+$\frac{\sqrt{2}}{c-1}$≥$\sqrt{2}$c+$\frac{\sqrt{2}}{c-1}$=$\sqrt{2}$（c-1+$\frac{1}{c-1}$+1）≥3$\sqrt{2}$，
当且仅当c=2时取等号，
故答案为：3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，考查基本不等式，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．