Question

7．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且当x≥0时，f（x）=log₂（x+1）+2^x-a，则满足f（x²-3x-1）+9＜0的实数x的取值范围是（　　）

• A． （-2，-1）
• B． （-1，0）
• C． （0，1）
• D． （1，2）

Answer 1

分析 根据题意，利用奇函数的性质可得f（0）=log₂（1）+2⁰-a=0，解可得a=1，即可得函数f（x）的解析式，结合指数函数与对数函数的性质分析可得函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，结合函数的奇偶性可得函数f（x）在R上为增函数，由此可以将f（x²-3x-1）+9＜0转化为x²-3x+2＜0，解可得x的取值范围，即可得答案．

解答 解：函数f（x）是定义域为R的奇函数，则有f（0）=0，
即f（0）=log₂（1）+2⁰-a=0，
解可得a=1，
则当x≥0时，f（x）=log₂（x+1）+2^x-1，
则有f（3）=log₂（4）+2³-1=9，
又由当x≥0时，f（x）=log₂（x+1）+2^x-1，而函数y=log₂（x+1）和函数y=2^x-1都是增函数，则函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，
又由函数f（x）是定义域为R的奇函数，则在区间（-∞，0]上也是增函数，
故函数f（x）在R上为增函数，
f（x²-3x-1）+9＜0⇒f（x²-3x-1）+f（3）＜0⇒f（x²-3x-1）＜-f（3）⇒f（x²-3x-1）＜f（-3）⇒x²-3x-1＜-3⇒x²-3x+2＜0，
解可得：-1＜x＜2，
即x的取值范围为（-1，2）；
故选：D．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性求出a的值．