Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AP=AB=AC=a，AD=$\sqrt{2}$a，PA⊥底面ABCD．
（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）在棱PC上是否存在一点E，使得四棱锥E-ABCD的体积为$\frac{{\sqrt{2}{a^3}}}{6}$？若存在，求出λ=$\frac{CE}{CP}$的值？若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得：CD⊥AC，由线面垂直得PA⊥CD，从而CD⊥面PAC，由此能证明平面PCD⊥平面PAC．
（2）由AB⊥AC，PA⊥底面ABCD，过E作EG⊥AC于G，PA⊥底面ABCD，从而V_{四棱锥E-ABCD}=$\frac{1}{3}$S_{四边形ABCD}•EG，由此能求出在棱PC上存在一点E，使得四棱锥E-ABCD的体积为$\frac{\sqrt{2}a3}{6}$，且λ=$\frac{CE}{CP}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

解答 证明：（1）在△ACD中，AC=a，CD=a，AD=$\sqrt{2}$a，
由勾股定理得：CD⊥AC，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，
AC?面PAC，PA?面PAC，PA∩AC=A，
∴CD⊥面PAC，
又∵CD?面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAC．
解：（2）由（1）知：AB⊥AC，又PA⊥底面ABCD
过G作EG⊥AC于G，PA⊥底面ABCD，PA⊆平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，
又EG⊆平面PAC，∴EG⊥平面ABCD，∴EG即为四棱锥E-ABCD高，
∴V_{四棱锥E-ABCD}=$\frac{1}{3}$S_{四边形ABCD}•EG
=$\frac{1}{3}$×a×a×EG=$\frac{1}{3}$a²•EG，
由题意：$\frac{1}{3}$a²•EG=$\frac{\sqrt{2}a3}{6}$，∴EG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
又∵PA⊥底面ABCD，EG⊥平面ABCD，
∴PA∥EG，∴$\frac{EG}{PA}$=$\frac{CE}{CP}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即λ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴在棱PC上存在一点E，使得四棱锥E-ABCD的体积为$\frac{\sqrt{2}a3}{6}$，且λ=$\frac{CE}{CP}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查几何体的体积的求法及应用，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．