Question

14．已知点M，N是抛物线y=4x²上不同的两点，F为抛物线的焦点，且满足$∠MFN=\frac{2π}{3}$，弦MN的中点P到直线l：$y=-\frac{1}{16}$的距离记为d，若|MN|²=λ•d²，则λ的最小值为（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{3}$
• C． $1+\sqrt{3}$
• D． 4

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点和准线方程，设|MF|=a，|NF|=b，由∠MFN=120°，运用余弦定理可得|MN|，运用抛物线的定义和中位线定理可得d=$\frac{1}{2}$（|MF|+|NF|）=$\frac{1}{2}$（a+b），运用基本不等式计算即可得到所求最小值．

解答 解：抛物线y=4x²的焦点F（0，$\frac{1}{16}$），准线为y=-$\frac{1}{16}$，
设|MF|=a，|NF|=b，由∠MFN=120°，
可得|MN|²=|MF|²+|NF|²-2|MF|•|NF|•cos∠MFN=a²+b²+ab，
由抛物线的定义可得M到准线的距离为|MF|，N到准线的距离为|NF|，
由梯形的中位线定理可得d=$\frac{1}{2}$（|MF|+|NF|）=$\frac{1}{2}$（a+b），
由|MN|²=λ•d²，可得$\frac{1}{4}$λ=1-$\frac{ab}{（a+b）^{2}}$≥1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$，
可得λ≥3，当且仅当a=b时，取得最小值3，
故选：A

点评 本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查余弦定理和基本不等式的运用：求最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．